傅里叶变换(傅里叶变换公式)
傅里叶变换
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傅里叶变换-正文 一种积分变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。积分
(1)
称为? 的傅里叶积分。周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数，而在(－∞,∞)上定义的非周期函数?，显然不能用三角级数来表示。但是J.-B.-J.傅里叶建议把?表示成所谓傅里叶积分的方法。 设?(x)是(-l,l)上定义的可积函数，那么在一定条件下，?(x)可以用如下的傅里叶级数来表示：
(x∈(-Л, Л)), (2)
式中
。 (3)
把(3)代入(2)，即有
式中un＝nπ/l (n=1,2,…)；。当l→∞时，上式第一项趋于0，级数换成积分，因此形式上就成为
。 (4)
这就是傅里叶积分的直观推导。记号～表示右方的积分是从 ?得来的，它并不意味着右方积分收敛，即使收敛，也未必等于?(x)。
傅里叶积分的收敛判别法 类似于傅里叶级数，相应的收敛判别法也有多种。为了简单起见,假定?是连续的。 ① 迪尼判别法 假如对于某个h>0，积分
，
那么?的傅里叶积分(1)在点x收敛于?(x)。
② 狄利克雷-若尔当判别法 如果函数?在含有点x的某区间,例如(x-h,x+h)上分段单调,则? 的傅里叶积分在点x收敛于?(x)。
傅里叶积分的复数形式 傅里叶积分(1)中的内层积分是u的偶函数，所以(4)式可以形式地写成
。 (5)
另一方面，积分是u的奇函数,所以形式上，积分
， (6)
合并(5)与(6)，利用公式eiθ =cosθ＋isinθ，即得
(7)
最后的积分称为?的傅里叶积分的复数形式。
傅里叶变换与傅里叶逆变换 (7)中内层积分
， (8)
称为?的傅里叶变换,记为弮(u)。在一些书中，积分前面的因子用代替，相应地,下面的逆变换积分前面应添加因子。以上都假定了函数?∈l1(-∞,∞)，所以(8)中的积分是存在的。进一步可以证明，?的傅里叶变换弮(u)是u的连续函数;当u→±∞时,弮(u)→0；此外，若弮(u∈l1(-∞,∞)，则几乎处处成立下面的逆转关系：
。 (9)
上式称为弮(u)的傅里叶逆变换。例如的傅里叶变换弮(u)等于;而弮(u)的傅里叶逆变换是。
L2（－∞,∞）中函数的傅里叶变换 对于?(x∈l2(-∞,∞)，(8)中积分未必收敛，由(8)定义的傅里叶变换可能不存在。因此,对由(8)定义的傅里叶变换需要从另一种意义上去理解。可以证明，函数
，
当l→＋∞时在空间l2(-∞,∞)内按范数收敛于某函数F(x∈l2(-∞,∞)，即
。 (10)
这样所得的F(x),称为?的傅里叶变换,也记作F(x)=弮(x)。此外，还可以证明，以下的关系成立：
。 (11),
上述结果，即为普朗歇尔定理，(11)式相应于傅里叶级数论中的帕舍伐尔等式。
佩利-维纳定理 假如?∈l2(-∞,∞),并且?(x)=0 (｜x｜>σ)，那么?的傅里叶变换为
。
把上式积分中的x换成复变数z(z=x+iy),即得复平面上定义的函数F(z)：
。 (12)
可以证明F（z）是复平面上的解析函数。此外,由于?∈l2(-σ,σ)，可得估计
这就是说,(12)定义的F(z)是一个指数σ型的整函数。下面的佩利-维纳定理则说明逆命题也成立： 设σ>0,F(x∈l2(-∞,∞),那么F(x)为l2(-∞,∞)中以(－σ，σ)为支集的某函数?(t)的傅里叶变换的充分且必要的条件是，F(x)为指数σ型整函数F(x+iy)在x轴上的限制。
多元傅里叶变换 设为m维欧几里得空间Rm上的l可积函数,即?∈l(Rm),那么称函数
为?的傅里叶变换,记作弮(x)。假如?(x∈l2(Rm),那么同样可以证明，“截断”积分
，
当K趋于无穷时，在空间l2(Rm) 中按范数收敛于某函数。F(x)就称为?的傅里叶变换。类似于一元的情形，成立着普朗歇尔定理。
以傅里叶变换为工具，研究函数的许多性质，是傅里叶分析的主要内容。傅里叶变换在数学、物理以及工程技术中都有重要的应用。
